Determinación del área geodésica de polígonos irregulares de terreno en Maracaibo, y sus diferencias con áreas UTM y planas locales

Investigación, Software - GGenLUZ-DAGPI_v1.0.yab/.exe

De conformidad con directrices nacionales del IGVSB (https://igvsb.gob.ve/), y en acuerdo con lo establecido en la Ley de Geografía, Cartografía y Catastro Nacional, y en ordenanzas municipales que rigen la materia (ver p.ej., Gaceta Municipal de Maracaibo, No. 125-2024), en Maracaibo, -así como en el resto de los municipios del país-, los resultados de levantamientos topográficos locales con fines catastrales (mensuras) deben expresarse en términos de coordenadas planas dadas en la proyección cartográfica global cilíndrica conforme UTM (Universal Transverse Mercator) [Snyder, 1987], referidas además al datum geodésico nacional vigente SIRGAS-REGVEN(1995).

Un típico resultado de tales levantamientos catastrales es la determinación del área de superficie que abarca la parcela de terreno objeto de la medición topográfica. El área de terreno medida es una cantidad fundamental para establecer el valor del inmueble en cuestión, la correcta asignación de respectivos impuestos municipales, y en definitiva, el procesamiento y registro de la mensura por parte de la oficina municipal de catastro. Por tanto, la precisa estimación del área de superficie de la parcela, preferiblemente a un nivel de calidad de ±1 m², es un asunto delicado que debe ser tratado con procedimientos técnico-geomáticos rigurosos.

Es conocido que la determinación de áreas de terreno a partir de coordenadas UTM conduce generalmente a estimaciones de superficie que se desvían (en grado variable) del valor real observado en campo. La proyección UTM es conforme, es decir, conserva en general los ángulos y direcciones -de ahí su importancia en la navegación-, distorsionando poco las formas al representar las características naturales del terreno curvilíneo en el plano, pero no conserva las áreas al no ser una proyección de tipo equivalente como, por ejemplo, las cónicas equivalentes de Lambert, de Albers, etc., entre muchas otras; ver [Snyder, 1987]. Las áreas UTM suelen ser mayores a sus respectivos valores reales cuando la zona geográfica a representar es cercana a los límites del huso UTM, y tienden a ser menores ó a coincidir próximas al meridiano central del huso. Esto es consecuencia, en principio, de la deformación causada por la proyección debido a la variación del factor de escala UTM a lo ancho del huso (de 0.9996 en el meridiano central a 1.01 en los bordes del huso); así la deformación aumenta del centro a los bordes del huso; más detalles en [Snyder, 1987].

Utilizando técnicas de la Geodesia Geométrica, un método alternativo a la determinación de áreas UTM en el catastro municipal es la estimación geodésica, rigurosa y exacta, del área encerrada por polígonos irregulares de terreno a partir de las coordenadas elipsoidales espaciales de sus vértices (latitud y longitud geodésicas, y altura elipsoidal) como obtenidas por posicionamiento GNSS de precisión (p.ej., GNSS-RTK, GNSS-PPP, GNSS-DD, etc.). El área de tales polígonos se determina inicialmente sobre la superficie del elipsoide de revolución (GRS80), y luego se corrige por altura para obtener el valor geodésico definitivo del área a nivel del terreno medido con una respectiva estimación de error debido a la incertidumbre de las coordenadas curvilíneas GNSS empleadas.

Esta nota técnica describe el referido método alternativo, y lo ensaya en un polígono irregular de terreno en Maracaibo para establecer la relación local entre áreas estimadas a partir de coordenadas planas globales UTM, planas locales CATEDRAL_MCBO y ALBERS, y geodésicas curvilíneas con fines catastrales.

Una vez medidos con GNSS de precisión los vértices del polígono irregular de terreno o parcela (p.ej., con GNSS-RTK de ±1-2 cm de calidad), sus respectivas coordenadas latitud y longitud geodésicas se utilizan para determinar el perímetro del polígono. Para ello se calculan como líneas geodésicas cada lado del polígono empleando el caso inverso del transporte de coordenadas geodésicas con el método exacto de Vincenty [1975], [Bomford, 1980]. Tomando un décimo de la distancia del perímetro como intervalo de interpolación inicial, desde los vértices principales y a lo largo de cada lado del polígono, usando ahora el caso directo del transporte de coordenadas geodésicas de nuevo con el método de Vincenty [1975], se calculan posiciones geodésicas intermedias entre los vértices extremos de cada lado, separadas en distancia según el intervalo de interpolación. Esto multiplica varias veces en número los vértices geodésicos originales que definen el polígono irregular. Seguidamente, las coordenadas geodésicas curvilíneas de todos los puntos se transforman en coordenadas planas polares según la proyección cónica equivalente de Albers [Snyder, 1987], y entonces con éstas se calcula la primera estimación del área geodésica del polígono irregular utilizando la fórmula estándar del cálculo de área con coordenadas planas polares. El proceso se repite ahora con 1/2 de la distancia del intervalo de interpolación. Se calcula un nuevo estimado para el área del polígono irregular, y se compara con la determinación anterior. Si la diferencia es superior al límite de precisión pre-definido para el cálculo, p.ej., ±0.5 m², el proceso se sigue iterando hasta su convergencia al nivel de precisión deseado. Con las alturas elipsoidales de los vértices GNSS del polígono se determina la altura elipsoidal media del terreno, y entonces, el área determinada en el proceso iterativo, definida en la superficie del elipsoide, se corrige y se expresa a nivel del terreno medido [Berk/Ferlan, 2018]. Finalmente, una estimación del error en la determinación del área del polígono se obtiene al considerar la desviación estándar media de las posiciones de los vértices medidas con GNSS. Este método es una variación menor del original descrito en detalle en [Gillissen, 1993] y [Gein/Gillissen, 1993]. El procedimiento es numéricamente exigente y su aplicación requiere de programación delicada; sin embargo, con las facilidades computacionales actuales, una vez codificado adecuadamente, es muy preciso y rápido de ejecutar.

El software GGenLUZ-DAGPI_v1.0.yab/.exe [Acuña, 2025], ver Figura 1, implementa el método descrito permitiendo su aplicación a cualquier polígono irregular de terreno en el municipio Maracaibo. El software es fácilmente adaptable a cualquier otra región del país.

Figura 1. Software GGenLUZ-DAGPI_v1.0.yab/.exe [Acuña, 2025].

La Figura 2 muestra a manera de ejemplo, los resultados de la aplicación de GGenLUZ-DAGPI_v1.0.yab/.exe en Maracaibo. Este caso refiere a la determinación del área de superficie de un amplio polígono irregular de terreno formado por los 15 vértices más externos de la red geodésica municipal GNSS del CPUM, medida en la reciente época 2024.7 [Acuña, 2024]. El polígono abarca la mayor parte del área total del municipio Maracaibo, aprox. 170 km².

Figura 2. Determinación del área geodésica de polígono irregular de terreno en Maracaibo formado por los vértices más externos de la red geodésica municipal GNSS del CPUM, época 2024.7 [Acuña, 2024].

Para el cálculo de la Figura 2, el software utiliza sólo un archivo ASCII de entrada con las posiciones geodésicas SR95 (latitud, longitud y altura elipsoidal), calidad 3D de las coordenadas y código de identificación de los 15 vértices que definen el polígono irregular de terreno, listados de forma consecutiva, formato GMS, y en sentido horario.

En una laptop estándar con procesador, p.ej., Intel(R) Core(TM) i7-11370H @ 3.30GHz, el cálculo del polígono de la Figura 2 emplea menos de 1 minuto de tiempo computacional. Durante el procesamiento se cumplen las siguientes tareas: a) las coordenadas geodésicas curvilíneas de los vértices se transforman a coordenadas planas globales UTM, planas locales CATEDRAL_MCBO y planas polares de Albers, y con ellas se determinan áreas planas respectivas para el polígono (170432111.59, 170209312.76 y 170209191.11 m², resp.); b) utilizando transporte de coordenadas geodésicas (casos directo e inverso según el método exacto de Vincenty [1975] basado en solución de líneas geodésicas), se determinan posiciones elipsoidales de interpolación a lo largo del perímetro del polígono (54112.606 m); en este caso, se establecieron 541126 puntos nuevos con una resolución en distancia de 0.1 m; c) las posiciones geodésicas de los puntos de interpolación se transforman a coordenadas planas polares según la referida proyección cónica equivalente de Albers con 2 paralelos estándar, y entonces, en conjunto con similares coordenadas de los vértices, se determina una corrección de superficie por segmentación de los límites del polígono (5.24 m²) que se utiliza para, a partir del área plana de Albers inicial, estimar el área geodésica del polígono irregular sobre el elipsoide de referencia GRS80 (170209196.35 m²); d) las alturas elipsoidales de los vértices se emplean para determinar la altura media del terreno (15.83 m) respecto al elipsoide de referencia y entonces calcular una corrección por altura (847.62 m²) que transforma el área geodésica del polígono sobre el elipsoide en un área geodésica sobre el terreno medido (170210043.96 m²); e) el error en posicionamiento 3D de cada vértice se utiliza para asignar un valor general de esa incertidumbre al polígono (±0.02 m) y luego, estimar su impacto en la determinación del área geodésica (±256.16 m²); f) finalmente, se determinan la diferencia y razón entre las áreas UTM y geodésica del polígono (222067.63 m² y 1.001304668190830, resp.).

El software incluye la verificación de sus cálculos aplicando el anterior procedimiento de estimación de área sobre el cuadrilátero elipsoidal circunscrito al polígono irregular (ver línea segmentada en Figura 2) cuya superficie exacta (214376130.59 m²) es obtenible libre de error según la formula directa del área para un cuadrángulo elipsoidal limitado por 2 meridianos y 2 paralelos [Rapp, 1991], [Acuña, 1994-2024]. Ambas determinaciones deben coincidir para que el software arroje resultados definitivos.

De acuerdo a los resultados obtenidos en el polígono de la Figura 2, en Maracaibo, las áreas de terreno calculadas a partir de coordenadas proyectadas UTM tienden a ser sistemáticamente mayores que aquellas exactas determinadas a partir de coordenadas geodésicas precisas, en una relación cercana a 1:1.0013, i.e., 0.13%. Esto es efecto de la deformación que introduce en las áreas la proyección UTM por la variación de su factor de escala (hacia el aumento) en una región como Maracaibo próxima al borde oeste (72°W) del huso UTM 19.

Tal relación de tamaño entre áreas UTM y geodésicas en Maracaibo (1:1.0013) tiene, aproximadamente, un impacto mayor a 1 m² para parcelas de terreno de 1000 m² de extensión en adelante.

Áreas planas locales CATEDRAL_MCBO (proyección acimutal oblicua equidistante) y ALBERS (proyección cónica equivalente) son excelentes aproximaciones al área geodésica de polígonos irregulares de terreno en Maracaibo, mucho mejores que las áreas UTM. En la Figura 2, mientras las áreas planas CATEDRAL_MCBO y ALBERS se desvían mínimamente del área geodésica del polígono, i.e., -0.0004% (-4.30 ppm ; -731.20 m²) y -0.0005% (-5.01 ppm ; -852.85 m²), resp., el área UTM muestra una desviación significativamente mayor del valor geodésico, i.e., 0.13% (1304.67 ppm ; 222067.63 m²), . . . esto es ca. de 300 veces más grande que las desviaciones de las otras 2 áreas planas  !!!

Otros ejemplos de la aplicación de GGenLUZ-DAGPI_v1.0.yab/.exe en Maracaibo, y más detalles sobre el procedimiento de determinación del área geodésica de polígonos irregulares de terreno en el país son dados en la siguiente publicación:

Acuña G. (2025): Determinación del área geodésica de polígonos irregulares de terreno en Maracaibo, y sus diferencias con áreas UTM y planas locales. Tópicos de Geodesia Geométrica. Marzo 16-22, 2025. Cátedra Geodesia Geométrica (GGenLUZ). Dpto. de Geodesia Superior. Esc. de Ingeniería Geodésica. Facultad de Ingeniería. Universidad del Zulia. Maracaibo, Venezuela.

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